つまみぐいトポロジー5

多次元解析による予測へ

いままで見てきたトポロジーの発想は、まだ二次元的な｢点｣と｢線｣
に｢抽象化｣するレベルのものであった。しかしトポロジーの抽象化
概念は、次元をも抽象化して扱うことを可能とする。そういう発想
方法なのである。

例えば、｢上り続けても終わらない階段｣というものを描くことがで
きる。これを、いわゆる｢立体的な三次元の世界｣で現実に構築する
ことは不可能だが、トポロジーの｢アイデンティファイ(同一視)｣と
いう発想を生かせば頭の中では可能となる。

つまり出発点と終点を同一にしてしまうというアイデンティファイ
によって、上りついた地点がそのまま上りはじめる出発点であると
考えると、この階段は上り続けても終わらない階段となるのだ。有
名なM.C.エッシャーの絵では、巧みな視覚上の錯覚を利用して、こ
の様子を二次元の平面にみごとに描きあげている。

その絵をご覧になった方も多いだろう。トポロジーの発想はいわば
頭の中で対象をどう取り扱うかを抽象化してやることで、どのよう
な世界でも描きあげることが可能となる。そのあたりが先に記した
｢数量的世界観の超克｣という表現に結実してくるのだといえよう。

次元をトポロジーの発想で取り扱うことによって、例えば宇宙論に
もさまざまな仮説が登場することになる。トポロジーの発想は、む
しろこうした世界での活躍のほうが重要なのかもしれない。そのあ
たりの詳細は、つまみ食いでは残念ながら語りきれない。参考文献
などで探ってみていただきたい。

ただ、ここで｢次元｣の概念についてもう少し触れておこう。一般に
次元とは、点をゼロ次元とし、線を一次元、平面を二次元、立体を
三次元とするものである。

私達のものの考え方では、｢縦･横･高さ｣を軸とするこの空間が認識
座標の基本にある故に､四次元に時間を加えることで､アインシュタ
インが相対性理論を発想したようなことはなかなか理解しにくい。

しかしこの｢次元｣というものを､｢その空間で自由に動き回れる自由
度｣と解釈したとき､見え方が異なってくる。つまりトポロジーの発
想によって、｢縦･横･高さ｣的な座標軸を取り払い、次元というもの
をもっと自由なものとして考えていくのである。こういう発想がつ
まりトポロジーなのだ。

そうすると、こういうことが見えてくる。｢縦｣、｢横｣、｢高さ｣を座
標軸で固定してしまうのではなく、三次元にそれぞれ独立して位置
づけられると考えると、ものの考え方は変わってくる。例えば天気
予報は、気温、気圧、風向、風力の量を取り上げる。ここではこの
４つを独立して四次元の中で自由に扱うことが可能となる。

つまり次元は、自由にいくつでも増やせるのだ。このようなトポロ
ジーの発想による｢次元の考え方｣から、例えば、マーケティングな
どにおいて用いられる経済学の｢多変量解析｣などということが可能
となる。

多変量解析の定義を見ると｢複数の変数に関するデータをもとにし､
これら変数間の相互関連を分析する統計的手法の総称｣とある｡多変
量解析を｢多次元解析｣と読み換えれば、マーケットデータを個別に
独立させて、その数だけの次元を考え、これを多次元で自由に関連
付けたりしながら解析し、過去のデータから未来予測のデータを引
き出していくことも、十分に可能となるのだ。

トポロジーは、多次元解析という｢位相数学｣を通し、卓抜な予測技
術として確立することも可能なのだ。こうした｢位相数学｣における
多次元解析の実際は、それこそつまみ食い程度ではとても表現する
ことはできない。

しかし、トポロジカルな応用数学をもととした予測技術が、私たち
にはなかなか見えにくい世界で役立っていると考えると、そうした
トポロジーの世界にももっと触れてみたくなるが、それはできれば
ちゃんとした｢フルコース｣でなければ無理というものだろう。その
あたりは是非、参考文献で示した書籍や、もっと詳細な書籍にあた
って確かめていただけたらと思う。

[データ]
｢トポロジーの発想｣(川久保勝夫著/講談社)