つまみぐいトポロジー2

ゴムの幾何学からみえるもの

画用紙に三角、四角、丸を描いたとき、この３つはトポロジー的に
は｢同相｣にあるという。つまり辺の長さ、曲がり具合などといった
それぞれの形が固有にもっている様子を捨象してしまうと、これら
は重ね合わせることができるというのだ。

例えば、これらの形が頭の中でゴムのように自由に伸ばしたり縮め
たりできるものと考える。するとこれらを引っ張ってもとの形を崩
してしまえば、三角も四角も丸も、すべて重ね合わせることができ
るわけだ。

つまり､｢伸ばしたり、縮めたり、曲げたり、歪めたりして重ねられ
るものは同じものである｣と考えるのがトポロジーなのである。だ
から概念を分かりやすくするために、トポロジーを｢ゴムの幾何学｣
などと呼ぶ場合もある。

またこういうこともいえる。目の前に皿と筒状の箸立て、ガラスで
できた飾り物の円錐や球があるとする｡このときこれらを頭の中で､
例えば粘土でできていると考えて、自由に叩いたり引き伸ばしたり
していくとすべて、｢１枚の平たい同じ形の板｣のように、ひとつに
重ねることが可能となる。そういう意味で、皿も筒状の箸立ても円
柱も球も｢同相｣であると考えるのがトポロジーなのだ。

しかしその皿にコーヒーカップがのっていた場合、これを受け皿と
同相であるとはいわない。なぜならコーヒーカップには｢取っ手｣が
ついているからだ。もしこの皿にのったコーヒーカップの脇にドー
ナツがあるとしたら、実はこのドーナツとコーヒーカップが同相と
ということになる。つまり穴が空いているという点で、二つは同相
になるのである。

コーヒーカップを、穴を中心として縮めたり伸ばしたりすればドー
ナツと重ね合わせることができる。その意味でいうと、人間もまた
コーヒーカップやドーナツと同相であるといえる。人間は口から尻
まで一本の管でつながっており、頭の中でこの穴を広げていけば、
やがてドーナツと同相の様子をあらわしてくるものだからである。

穴という状況に着目すると、こんなこともいえる。子どもがタイツ
の上に短パンを履き、上半身にはシャツを着ている。この３つは果
たして同相だろうか。

短パンは足の出る穴が２つ、シャツは首と両腕の出る３つの穴があ
る。ところがタイツは足のつま先で閉じている。トポロジーからみ
ると、この３つはどれも同相にはならないのである。

トポロジーの発想とは、形にとらわれずに、それがもっている本質
を見極めようとするものであり､これをひとことでいうと｢量を捨象
して質を求める｣ものであり､また｢数量的世界観の超克｣ともいう。
ではその求めるところはいったいどういうことなのだろうか。

[3]へ続く