つまみぐいトポロジー3

｢グラフ｣にするということ

トポロジーの歴史上､有名なこんな話がある。｢ケーニヒスベルクの
橋｣と題されたトポロジーパズルである。

旧プロイセン領ケーニヒスベルク(現在のロシア領･カリーニングラ
ード)に下の図のような橋があった。川の中に２つの島があり両岸
と島､及び島同士をつなぐ７つの橋である。パズルというのは｢この
妙な７つの橋を１回ずつ渡って散歩するルートはあるか｣というも
のだった。

この問題を解いたのが18世紀スイスの数学者L.オイラーである。彼
は両岸と２つの島を｢点｣とし、これを結ぶルートを｢線｣として図１
を描き、そしてこれを図２としてとり出し、図３のような｢グラフ｣
とした。

この発想は、岸や島という要素を｢点｣として｢抽象化｣し、その間を
行き来することを｢線｣として描いたものだ。このような質の求め方
もまたトポロジーの発想なのである。

そしてオイラーは、この｢質だけを取り出した図｣が一筆書きで描け
るかどうかに置き換えてパズルを解いた。その答えはこうである。

｢グラフが一筆書きできるための必要十分条件は奇頂点の個数がゼロ
または２個である｣ということを証明した上で、このケーニヒスベル
クの橋のグラフでは｢奇頂点が４つあるために一筆書きはできない、
即ち７つの橋を１回ずつ渡って散歩するルートはない｣とするもので
あった。

ここでいう奇頂点とは、ひとつの頂点に集まる辺の数が奇数のもの
であり、これに対して偶数のものを偶頂点という。

一筆書きの証明については身近な一筆書きで検証してみるとよく分
かる。例えば、図４のような、よくやる家の形の一筆書きでは、家
の底辺左右端に３つの辺が集まる頂点がそれぞれひとつずつあるだ
けで、このグラフ内の奇頂点は２個である。それ故に、この図形は
一筆書きができるといえるのだ。

先の山手線や略図の地図も、実はこのケーニヒスベルクの橋のパズ
ルを解いたときのグラフと同様の｢抽象化｣がなされている。グラフ
とは､｢有限な数の点を有限な線で結んだ図形であり、線は直線でも
曲線でもよい｣と考えるものだ。

駅や交差点を｢点｣と考え、これを結ぶ線路や道路を｢線｣としてグラ
フに描きあげることで、いわば｢位置関係｣のみにターゲットを絞り
込んだ路線図や略地図を描きあげることができる。ここにトポロジ
ー的な発想が日常生活に生かされる理由がある。

[4]へ続く